¿Qué es el álgebra?


¿Cómo se lo explicaría a un niño pequeño? 

El álgebra es una rama de la matemática que intenta averiguar cantidades desconocidas apoyándose en otras que sí se conocen. Por ejemplo: ¿Cuántos conejos y cuántas gallinas hay en un corral si en total hay 20 animales y la suma de sus patas es 62?
A un jovencito que todavía no tenga estudios de bachillerato se le podría resumir diciéndole que es la parte de las matemáticas que estudia las ecuaciones y los polinomios.

¿Qué conceptos nuevos aparecen en bachillerato?

En bachillerato se profundiza en el concepto de polinomio, estudiando todas las operaciones que pueden realizarse con los mismos: suma, producto, cociente, factorización... y se introduce el concepto de inecuación. Se profundiza en el estudio del álgebra lineal, esto es, sistemas de ecuaciones con más de una incógnita, apareciendo los conceptos matriz y determinante, y estudiando todas las operaciones que se pueden realizar con éstos. El método de Gauss es una forma ordenada y sencilla de resolver sistemas de ecuaciones.

¿Después de bachillerato, cómo se debiera definir o resumir el álgebra? 

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia los sistemas de ecuaciones y los polinomios. El método de Gauss es la forma más rápida para resolver sistemas lineales, independientemente del número de incógnitas. Junto con los conocimientos adquiridos de geometría, los sistemas de ecuaciones de tres incógnitas se pueden interpretar de un modo muy sencillo con puntos, rectas y planos. La notación matricial es la más rápida para trabajar. Las matrices se pueden sumar y multiplicar, dadas ciertas condiciones. El producto de matrices no es conmutativo. Con matrices cuadradas se puede calcular su determinante: un número obtenido a partir de sus coeficientes útil para, entre otras cosas, calcular rangos de matrices, esto es, el número de vectores linealmente independientes que hay en una matriz.
El álgebra también estudia los polinomios, que aparecen al estudiar ecuaciones no lineales (ecuaciones con exponentes en las incógnitas). Con los polinomios se pueden hacer todas las operaciones aprendidas con números: suma, resta, producto, cociente... para factorizarlos, el modo más rápido es el de Ruffini. La factorización es de gran importancia para el estudio de inecuaciones (ecuaciones con desigualdades, esto es, no se busca la solución exacta, sino si algo una ecuación es mayor o menor que otra ecuación). Junto con los conocimientos de análisis, no es problema representar polinomios gráficamente en los ejes de coordenadas, estudiar sus intervalos de crecimiento, máximos, mínimos, representación gráfica, etc...

No confundir álgebra lineal con álgebra abstracta

Debe distinguirse el álgebra lineal y de los polinomios del álgebra abstracta, que estudia las propiedades de las operaciones que podemos realizar con distintas clases de conjuntos, clasificándolos, según sus propiedades, en espacios vectoriales, grupos, anillos, cuerpos... generalizando más allá de simplemente conjuntos de números.

Siempre con humor, Mingote también hace referencias al álgebra en sus chistes... Aquí.



  • Polinomios.
    • Descomposición factorial.
    • Fracciones algebraicas.
    • Resolución e interpretación de ecuaciones e inecuaciones.
    • Binomio de Newton
  • Inecuaciones.
  • Álgebra lineal
    • Sistemas de ecuaciones lineales.
    • Matrices.
      • Operaciones con matrices.
        • Suma de matrices.
        • Producto de matrices.
        • Matriz traspuesta.
        • Matriz adjunta.
        • Matriz inversa.
      • Rango de una matriz.
    • Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones.
    • Determinantes.
      • Propiedades de los determinantes.
      • Cálculo de la matriz inversa.
      • Método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones.